어떻게 수학을 이해할까?

1. 줄거리를 주자  

1.1. 우리는 어떻게 영화의 줄거리를 이해할까? 

우리는 500쪽이 넘는 소설을 읽고 내용을 기억한다. 2시간이 넘는 영화를 보고, 대사를 외우고 숨겨진 메시지까지 읽어내며 내용을 이해할 수 있다. 키워드는 "이야기" 이다. 짜임새있는 이야기가 가지는 구조는 다음과 같다. 

- 어떤 배경에서 (1)

: 영화의 무대가 나온다. 스토리가 어떤 무대에서 펼쳐지는지 이해하는 것은 중요하다. 히어로물에서 우리는 현실에서 일어나지 않는 초자연현상을 자연스레 받아들인다. 하지만, 현실을 잘 반영한 다큐멘터리 영화에서 초능력이 나오는 것은 어색하다. 이처럼, 어떤 배경에서 이야기가 전개되는지 아는 것은 중요하다. 

- 어떤 등장인물들이 (2) 

: 등장인물이 누구인지 파악해야 한다. 등장인물이 누구인지 파악한다는 것은, 등장인물의 고유한 성격과 역할을 파악하는 것이다. 어떤 특성 (성격)을 지녔고, 어떤 위치에서 무슨 일을 할 수 있는지 파악해야 한다. 

- 어떤 상황이 되면, (3) 

: 갈등의 도화선을 이해해야 한다. 줄거리가 짜임새있는 영화라면, 그 시발점이 강력하다. 

==> 내가 좋아하는 영화 "황해" 와 같은 경우 '김윤식' 은 돈, '하정우'는 현실탈출, '조폭두목' 은 자신의 여자 라는 도화선이 있었고, 이것이 절묘하게 맞물려서 필연적으로 스토리의 시작을 유발했다.

- 필연적으로 어떻게 될 수밖에 없다. (4) 

: 3과 연결되는 이야기. 그 도화선에 불을 지피면, 반드시 그렇게 될 수 밖에 없어야 한다. 이는 각 등장인물의 성격을 이해하면, 자연스럽게 받아들여져야 한다. 

- 왜? (5) 

: 영화의 이야기. 갈등이 어떻게 시작되어 어떻게 풀어지는지를 이야기한다. 

1.2 같은 방식으로 수학의 증명을 이해하자

- 어떤 배경에서?

: 증명이 State되는 배경을 이해한다. 굉장히 비슷해보이지만, Bounded linear functional 이 Continuous function 집합에서 정의되는 것과 $L^p$ 공간에서 정의되는 것은 완전히 다른 이야기를 준다. 이처럼, 어떤 배경에서 이야기가 되고 있는지 알아야 한다. 

- 어떤 등장인물이? 

: 주어진 배경에 살고 있는, (이웃집 사람처럼 자연스럽게 그 공간에 있으리라 생각되는) 대상이 등장인물로 나온다.  예를 들어, Continuity 를 증명할 때는 당연히 함수 $f$ 가 주인공이다. 

- 어떤 상황이 되면,

: Theorem 의 조건이다. 

- 필연적으로 이렇게 될 수 밖에 없다. 

: Theorem 이 state하고자 하는 바이다. 드라마를 많이 보는 어른들이 드라마의 한 두 화 빼먹으셔도 스토리가 이해되듯, 내공이 쌓이면, 이것만 보고 중간단계가 보인다. 가장 중요한 부분이다. 

- 왜? 

: 증명. 본격적인 이야기의 시작이다. 수학은 이 세상에서 가장 잘 짜여진 이야기이기 때문에 아무리 복잡해보여도 결국은 한 방향으로만 가게 되어 있다. 

: 증명테크닉들은 클리셰 정도로 이해하면 된다. 

2. 시각화 

문제를 푸는 테크닉, 증명을 이해하고자 하는 테크닉을 볼 때, 자주 노력하는 것은 시각화이다. 

대수, 함수공간처럼 상상이 잘 안되는 부분이 있지만, 어떤 어려운 말이라도 직관적으로 이해하고 나면 이해가 훨씬 쉬워지기 때문이다. 다양한 그림을 상상하고, 최대한 많이 시각화를 하여 자연스럽게 이해해야 한다.