사과나무는 단 몇 그루의 새로운 사과나무를 꽃피우기 위하여 500개의 사과를 생산한다.
원하는 직장을 잡기 위해서는, 최소 20군데 면접을 보아야 한다.
유능한 사원을 뽑기 위해서는 최소 40명을 만나야 한다.
한 권의 책을 출판하기 위해서는 60개 이상의 출판사에서 거절당해야 한다.
성공하기 위해서는, 우리가 생각한 것보다 많은 실패를 경험해야 한다.
2013년 12월 10일 화요일
2013년 12월 5일 목요일
Measure transformation
$\int_{0}^{\infty} \mu [|f| > t] m(dt) $ = $\int |f| d\mu$
by Fubini.
이상하게 생긴 measure를 조금 더 편하게 다룰 수 있는 Lebesgue measure로 데려오기 위해 필요한 Theorem
2013년 12월 4일 수요일
어떻게 수학을 이해할까?
1. 줄거리를 주자
1.1. 우리는 어떻게 영화의 줄거리를 이해할까?
우리는 500쪽이 넘는 소설을 읽고 내용을 기억한다. 2시간이 넘는 영화를 보고, 대사를 외우고 숨겨진 메시지까지 읽어내며 내용을 이해할 수 있다. 키워드는 "이야기" 이다. 짜임새있는 이야기가 가지는 구조는 다음과 같다.
- 어떤 배경에서 (1)
: 영화의 무대가 나온다. 스토리가 어떤 무대에서 펼쳐지는지 이해하는 것은 중요하다. 히어로물에서 우리는 현실에서 일어나지 않는 초자연현상을 자연스레 받아들인다. 하지만, 현실을 잘 반영한 다큐멘터리 영화에서 초능력이 나오는 것은 어색하다. 이처럼, 어떤 배경에서 이야기가 전개되는지 아는 것은 중요하다.
- 어떤 등장인물들이 (2)
: 등장인물이 누구인지 파악해야 한다. 등장인물이 누구인지 파악한다는 것은, 등장인물의 고유한 성격과 역할을 파악하는 것이다. 어떤 특성 (성격)을 지녔고, 어떤 위치에서 무슨 일을 할 수 있는지 파악해야 한다.
- 어떤 상황이 되면, (3)
: 갈등의 도화선을 이해해야 한다. 줄거리가 짜임새있는 영화라면, 그 시발점이 강력하다.
==> 내가 좋아하는 영화 "황해" 와 같은 경우 '김윤식' 은 돈, '하정우'는 현실탈출, '조폭두목' 은 자신의 여자 라는 도화선이 있었고, 이것이 절묘하게 맞물려서 필연적으로 스토리의 시작을 유발했다.
- 필연적으로 어떻게 될 수밖에 없다. (4)
: 3과 연결되는 이야기. 그 도화선에 불을 지피면, 반드시 그렇게 될 수 밖에 없어야 한다. 이는 각 등장인물의 성격을 이해하면, 자연스럽게 받아들여져야 한다.
- 왜? (5)
: 영화의 이야기. 갈등이 어떻게 시작되어 어떻게 풀어지는지를 이야기한다.
1.2 같은 방식으로 수학의 증명을 이해하자
- 어떤 배경에서?
: 증명이 State되는 배경을 이해한다. 굉장히 비슷해보이지만, Bounded linear functional 이 Continuous function 집합에서 정의되는 것과 $L^p$ 공간에서 정의되는 것은 완전히 다른 이야기를 준다. 이처럼, 어떤 배경에서 이야기가 되고 있는지 알아야 한다.
- 어떤 등장인물이?
: 주어진 배경에 살고 있는, (이웃집 사람처럼 자연스럽게 그 공간에 있으리라 생각되는) 대상이 등장인물로 나온다. 예를 들어, Continuity 를 증명할 때는 당연히 함수 $f$ 가 주인공이다.
- 어떤 상황이 되면,
: Theorem 의 조건이다.
- 필연적으로 이렇게 될 수 밖에 없다.
: Theorem 이 state하고자 하는 바이다. 드라마를 많이 보는 어른들이 드라마의 한 두 화 빼먹으셔도 스토리가 이해되듯, 내공이 쌓이면, 이것만 보고 중간단계가 보인다. 가장 중요한 부분이다.
- 왜?
: 증명. 본격적인 이야기의 시작이다. 수학은 이 세상에서 가장 잘 짜여진 이야기이기 때문에 아무리 복잡해보여도 결국은 한 방향으로만 가게 되어 있다.
: 증명테크닉들은 클리셰 정도로 이해하면 된다.
2. 시각화
문제를 푸는 테크닉, 증명을 이해하고자 하는 테크닉을 볼 때, 자주 노력하는 것은 시각화이다.
대수, 함수공간처럼 상상이 잘 안되는 부분이 있지만, 어떤 어려운 말이라도 직관적으로 이해하고 나면 이해가 훨씬 쉬워지기 때문이다. 다양한 그림을 상상하고, 최대한 많이 시각화를 하여 자연스럽게 이해해야 한다.
2013년 12월 3일 화요일
Techniques in Mathematics
Transformation to more comfortable form
1. Laplace Transformation
2. Talyor theorem
3. Fourier transform
4. MVT if continuous and differentiable
5. Characteristic function or Simple function
6. Fundamental Theorem of Calculus
Analysis
1. Bound
If $|a_{n}| < \epsilon$ and want to calculate $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$, bound $|a_{n}| < \frac{\epsilon}{2^n}$ for $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} < \epsilon$
2. Show existence
1) Construction
- Collecting sets having common property that we want to show, then observe what common properties they are sharing.
- For measure construction, always starts from outer measure.
2) Approximation
- Arzela Ascoli
- $f \in \beta$, $f \in L_{1}$, then there exists a continuous $g$ with compact support such that $\int |f-g| < \epsilon$
- Simple
- Egorov
- For Lebesgue measure on $\mathbb{R}$, for any interval, there exists open and compact sets to approximate such an interval
- Radon derivative
- Stone Weierstrass Theorem
3. Inequality
- Jensen ==> Linear 한 관계 with 합치면 1되는 일 때
- Chebyshev Inequality
- Convex (Concave)
- Houlder
- Minkowski
- Young
4. Transformation
- 곱했다 나누기
- 더했다 빼기
- FTC
- Fubini : 조금 더 편한 measure 로 컨트롤하기
- Change of variable
2013년 12월 2일 월요일
Prove that there exists an uniformly continuous function $g$ such that $f = g$ a.e
Suppose $f \in L^{\infty}(\mathbb{R})$, $f_{h}(x) = f(x+h)$ such that
$\lim_{h \rightarrow 0} ||f_{h} - f||_{\infty} = 0$
Prove that there exist an uniformly continuous function $g$ on $\mathbb{R}$ such that $f =g$ a.e
이것에 대하여 올라온 답변은 다음과 같습니다.
구글 블로거에 LaTex 사용하기!
레이아웃 - 템플릿에 보면 Html 코드가 있을 것입니다.
여기에 <Head> ~~ </Head> 사이에 다음의 스크립트를 복사해 붙여넣으시면 됩니다.
<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js">MathJax.Hub.Config({extensions: ["tex2jax.js","TeX/AMSmath.js","TeX/AMSsymbols.js"],jax: ["input/TeX", "output/HTML-CSS"],tex2jax: {inlineMath: [ ['$','$'], ["\\(","\\)"] ],displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],},"HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }});</script>
드디어 수식을 마음껏 편집할 수 있게 되었습니다!
대학강의를 성공적으로 듣는 방법
문과 출신으로, 수학을 복수전공하며 매일 두들겨 맞는 입장으로써 필자가 이 포스트를 적을 자격이 되지 않는 것은 알고 있습니다. 하지만, 두들겨 맞는만큼 깨달음이 있기에 포스팅을 하고자 합니다. Daily Cycle 에 맞추어서 적어보겠습니다.
0. 적절한 로드
1. 자기 수준에 따른 적절한 과목수 (하루 종일 공부한다는 가정)
- 수학계의 괴수 (A0 ~ A+이 보통인 학생 // 시험을 보고나면, 평균보다 만점이 몇점인지 먼저 확인하는 학생)
: 전공수업 4개를 견딜 수 있다. (순수수학 3 + 응용 1)
- 평범한 학생 (A 대면 잘했다고 생각하는 학생, 평균보다 높으면 안도하는 학생)
: 전공수업 3개 + 기초과목 혹은 교양 하나를 견딜 수 있다.
- 수업을 따라가기 버거운 학생 (목표가 평균인 학생)
: 전공수업 2개 + 재수강 / 기초과목 1~2개
1. 수업
0. 수업의 가치는 여러분들의 생각보다 높습니다.
- 교수님께서 강의하시는 내용은 그 교과서에서 꼭 알아야 하는 것들입니다. 그리고, 강의에서 다루지 않는 내용은 지금 알지 못해도 공부에 아무 지장이 없는 내용입니다.
- 반면, 책을 쓰는 저자는 그 분야의 모든 내용을 다 적고자 합니다. 또한, 책은 강의와 다르게 스토리의 흐름을 강조해주지 못합니다.
- 따라서, 강의를 놓치고 책만 본다면 효율성이 50% 이상 떨어지게 됩니다. 강의는 교과서의 가이드입니다.
1. 강의의 맥을 파악할 것
강의는 사실 혹은 법칙의 나열이 아닙니다. 만일 매 강의가 하나의 스토리로 보이지 않는다면, 그 강의를 제대로 이해하고 있지 않은 것입니다.
모든 수학강의는 <동기부여> - <정의> - <Theorem> - <Corollary> - <Example> 로 이루어져 있습니다. 이 짜임새대로 강의가 보이지 않는다면, 제대로 이해하고 있지 않거나 순식간에 까먹을 확률이 높습니다.
2. 필기 필기
- 필기는 위에서 말한 짜임새대로 하는 것이 좋습니다. 그리고, 기본 원칙은 칠판에 있는 모든 것을 적는 것입니다.
- 간과하기 쉽지만, 필기는 나중에 쉽게 알아볼만큼 아주 이쁘게 해야 합니다. 교과서를 보거나, 시험공부를 할 때 필기는 아주 중요한 가이드라인이 됩니다. 나중에 필기를 버리고, 책만 보고 다시 복습하거나 시험공부를 하려 한다면 시간이 2배는 더 걸릴 것입니다.
3. 질문 질문
- 모르는 것이 있으면, 질문하세요. 1등이나 꼴찌나 어차피 같은 대학 같은 강의실에 있으면 그렇게 수준차이가 많이 나지도 않습니다. 즉, 내가 모르는 것은 반드시 다른 누군가도 모릅니다. 따라서 용기내어서 질문하세요.
- 그리고, 질문을 많이 할수록 수업을 내 pace에 맞출 수 있습니다. 비싼 등록금내고 더 유리한 셈이죠.
2. 복습
1. 가능하면 모든 과목을 복습하세요.
- 약 30년간 강의만 하신 교수님에 따르면, "어떤 수업이든 3시간 이상 복습을 안 하고 들으면 못 따라간다" 라고 하십니다. 따라서, 가능하면, 수업이 끝난 당일 모든 과목을 복습하세요.
- 그것이 여의치 않다면, 어려운 과목 위주로 복습하시기 바랍니다.
2. 이해할 때까지 복습하세요.
- 처음부터 끝까지 안 보고, 그 수업의 핵심 내용 (스토리 - 정의 - 법칙) 을 state할 수 있고,
- 모든 증명을 안 보고 외울 때까지 복습하세요. 보통 1시간 수업에 짧게는 한 시간, 길게는 3시간이 소요됩니다.
- 시험기간 때는 문제푸는 것에만 전념할 수 있도록 내용은 숙지해두세요.
3. 문제를 푸세요.
- 시간이 남는 주말, 시험기간에는 연습문제를 푸세요. 문제를 풀지 않고서는 절대로 이해한 것이 아닙니다.
3. 컨디션관리
1. 잠은 7시간 자세요
- 잠을 많이 자세요. 태릉선수촌 훈련일지도 보면 하루 종일 매 순간 운동해도 잠은 7시간 이상 잡니다. 두뇌운동이나 근육운동이 본질이 같다는 사실을 바탕으로, 잠은 반드시 7시간을 자야 합니다.
2. 점심은 적게 드세요.
- 춘곤증이 괜히 있는 말이 아닙니다. 아침은 든든히 먹되, 점심은 조금씩 먹고 heavy 하지 않은 과일등으로 배고픔을 달래세요. 그래야 머리가 맑아집니다.
그 외 생각나는 것이 더 있으면 추가하겠습니다.
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